segunda-feira, 4 de junho de 2012

Teoria de Hamilton-Jacobi (Parte 3)



Teoria de Hamilton-Jacobi (Parte 2)



As Equações de Hamilton-Jacobi


Uma vez conhecidas as Transformações Canônicas, podemos começar a nos perguntar como determinar uma TC que garanta que todas as vaiáveis sejam cíclicas ou ignoráveis. A Formulação de Hamilton-Jacobi tem a resposta para esta pergunta. Se a nova Hamiltoniana, a chamada Kamiltoniana, for nula ou constante, todas suas derivadas serão iguais a zero e, consequentemente, todas as coordenadas serão cíclicas.
Assim, se conseguirmos achar uma função geratriz (S) que faça com que a K =0, teremos resolvido o problema proposto.




quarta-feira, 25 de abril de 2012


Olá Caros Alunos,

Em virtude do Feriado de 1o de maio (Dia do Trabalho) não teremos aula na próxima 2a-feira dia 30 de abril.
Teremos, contudo, que repor a aula perdida.



Assim, solicito que aquele(s) que tenha(m) restrições de horário (ou dia) para esta reposição façam a gentileza de enviar e-mail para mim com a sugestão de datas e horários para tal reposição.

Atenciosamente,

Arnaldo

quarta-feira, 11 de abril de 2012

Sugestão de Estudos para a Prova: Máquina de Atwood Acoplada

Caros alunos,

Considere a figura abaixo e as definições nela indicadas.

Pede-se:

a) Escreva a(s) equações de vínculo. Classifique este(s) vínculo(s). Explique quantos são os graus de liberdade do problema.
b) Identifique as forças a que cada massa está submetida e indique aquelas que são forças aplicadas e as que são forças de vínculo.
c) Obtenha as acelerações de cada massa utilizando a Formulação de D´Alembert.
d) Escreva  a função lagrangeana do sistema.
d) Obtenha as acelerações de cada massa utilizando a Formulação de Lagrange.
e) Obtenha as acelerações de cada massa utilizando a Formulação de Euler-Lagrange.

Solução abreviada:







terça-feira, 27 de março de 2012

Exercício Extra

Em um post anterior, sobre coordenadas generalizadas, é apresentado um exemplo de uma barra que oscila tendo uma de suas extremidades conectada a uma mola. Observe que a massa da barra está uniformemente distribuída por todo seu comprimento.



Resolva tão completamente quanto lhe seja possível. Utilize uma ou mais técnicas que aprendeu no curso. A  solução deverá publicada no blog cadastrado pelo aluno até as 10 horas do dia primeiro de abril. Este exercício servirá como substituição a alguma lista que o aluno tenha tirado nota insuficiente.

Bons estudos

Arnaldo

segunda-feira, 26 de março de 2012

Formulação Lagrangeana

No que se segue, as coordenadas generalizadas de um sistema com s graus de liberdade serão representadas por {q1,q2,...,qs} ou de forma compacta por q.

Na formulação da mecânica lagrangeana, cada sistema mecânico é caracterizado por uma função. No caso geral, esta função depende das coordenadas generalizadas (q), das suas derivadas temporais e também do tempo (t). Esta função designa-se lagrangeana do sistema, sendo representada habitualmente por

L = L(q, q´,t)

A langrangeana pode ser escrita na forma

L  = T-U,

onde T é a soma das energias cinéticas das partículas do sistema e U é a sua energia potencial, onde se incluem os efeitos de todas as forças aplicadas conservativas.

http://paginas.fe.up.pt/~mines/publicacoes_pedagogicas/apontamentos/IMC_Lagrange.pdf

Coordenadas Generalizadas

Coordenadas generalizadas

A posição de uma partícula fica definida pelo seu  vetor de posição r , cujas componentes são as suas coordenadas cartesianas x, y, e z.

Para especificar completamente a posição de um sistema de N partículas, serão necessários N vetores de posição, ou, 3N coordenadas cartesianas. No entanto, é possível conhecer a posição de determinados sistemas a partir de um número de variáveis inferior a 3N.

Designa-se por número de graus de liberdade (n) o número mínimo de variáveis necessário para descrever completamente a posição do sistema. Este também é o número  de variáveis independentes que é necessário especificar para conhecer completamente a posição de um dado sistema.

Se uma partícula for obrigada a mover-se sobre uma superfície conhecida (por exemplo, sobre a superfície de uma esfera, ou sobre o plano xy), bastarão 2 coordenadas para definir completamente a sua posição no espaço. Caso a partícula se desloque ao longo de uma linha conhecida, a sua posição ficará especificada a partir de uma única variável.

A escolha das coordenadas generalizadas de um dado sistema não é única. Cabe-nos, portanto, selecionar aquelas que simplificam o tratamento matemático do problema. A seleção das coordenadas generalizadas é algumas vezes chamada de parametrização do problema.



Parametrização

Da observação da figura pode-se concluir que o ponto A apenas se movimenta na vertical, e que a localização da barra fica definida pela sua orientação no plano e pela posição do ponto A. Assim, será natural escolher a distância do ponto A à plataforma (h) e o ângulo da barra com a vertical ( teta) para coordenadas generalizadas deste sistema.